微分積分例

$\log (x^{2} + y^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\log (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (10)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x + 0)$

ステップ 2.4

項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x)$

ステップ 2.4.2

$2$ と $\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{2}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} x$

ステップ 2.4.3

$\frac{2}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$

ステップ 2.4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + y^{2} \ln (10)}$

微分積分 例