微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x (x - 5)}$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

ステップ 1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x \cdot - 5}$

ステップ 1.3

$- 5$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

ステップ 3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

ステップ 3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

ステップ 3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5}{x}}$

ステップ 3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 3.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 3.4

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 3.5

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 3.6

$25$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - 25 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 5.2

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 5.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 \cdot 0}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 25$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 + 0}{1 - 5 \cdot 0}$

ステップ 7.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - 5 \cdot 0}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{1 + 0}$

ステップ 7.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 7.3

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

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