微分積分例

$f (x) = 2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.2.7

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$- \frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$4 \cos (2 x) + 0$

ステップ 1.3.2

$4 \cos (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$4 \cos (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cos (2 x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.3.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 8 \sin (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 \cos (2 x) = 0$

ステップ 4

$4 \cos (2 x) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$4 \cos (2 x) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \cos (2 x)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos (2 x)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{0}{4}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 7

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 8

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 9.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 9.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 9.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 10

方程式 $2 x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 8 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 8 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

ステップ 12.1.2

共通因数を約分します。

$- 8 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 12.1.3

式を書き換えます。

$- 8 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 12.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 8 \cdot 1$

ステップ 12.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8$

ステップ 13

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 14

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{4})) - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)})) - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2})) - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot 1 - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = 2 - \frac{π}{2}$

ステップ 14.2.2

最終的な答えは $2 - \frac{π}{2}$ です。

$y = 2 - \frac{π}{2}$

ステップ 15

$x = \frac{3 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 8 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

ステップ 16.1.2

共通因数を約分します。

$- 8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

ステップ 16.1.3

式を書き換えます。

$- 8 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 16.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 8 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 16.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 8 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.4

$- 8 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 8 \cdot - 1$

ステップ 16.4.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$8$

ステップ 17

$x = \frac{3 π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{4}$ は極小値です

ステップ 18

$x = \frac{3 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4})) - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)})) - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2})) - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (- 1 \cdot 1) - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.1.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot - 1 - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.1.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 - \frac{π}{2}$

ステップ 18.2.2

最終的な答えは $- 2 - \frac{π}{2}$ です。

$y = - 2 - \frac{π}{2}$

ステップ 19

$f (x) = 2 \sin (2 x) - \frac{π}{2}$ の極値です。

$(\frac{π}{4}, 2 - \frac{π}{2})$ は極大値です

$(\frac{3 π}{4}, - 2 - \frac{π}{2})$ は極小値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例