微分積分例

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

ステップ 1

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$u^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2

${(u^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\int u^{- 5} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- 5}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ です。

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ を $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{u^{4}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

ステップ 7.2.2

$4$ を $u^{4}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

ステップ 9.2

分数を分解します。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

ステップ 9.3

$\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ を $\csc^{4} (x)$ に変換します。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

ステップ 9.4

$4$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

ステップ 9.5

$\frac{1}{4}$ と $\csc^{4} (x)$ をまとめます。

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

ステップ 9.6

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

微分積分 例

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