微分積分例

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

ステップ 1

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 4$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 4$

ステップ 1.3.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 4$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = k^{2} + 4$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

ステップ 5

$k^{2} + 4$ および $4$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

ステップ 8.2

$\frac{1}{4}$ と $| k^{2} + 4 |$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$

微分積分 例

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