微分積分例

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{3} - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 8$ で置き換えます。

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 1.2.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

ステップ 1.2.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

ステップ 1.3.2

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

ステップ 3

$2$ を $2$ 乗します。

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

ステップ 4

$3$ に $4$ をかけます。

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

ステップ 5

$2$ を $3$ 乗します。

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

ステップ 6

$8$ から $8$ を引きます。

$y' (2) = 12 e^{0}$

ステップ 7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y' (2) = 12 \cdot 1$

ステップ 8

$12$ に $1$ をかけます。

$y' (2) = 12$

微分積分 例

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