微分積分例

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x^{5}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.2.3

$5$ を $a$ の左に移動させます。

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.3.4

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2} x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ です。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = y^{2}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.4.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.4.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.4.4.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.4.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

ステップ 2.4.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

ステップ 2.4.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

ステップ 3

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺に $y^{2}$ を足します。

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $5 x^{4} a$ を引きます。

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

ステップ 5.1.3

方程式の両辺から $3 x^{2} y$ を引きます。

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

ステップ 5.2

$x y'$ を $x^{3} y' - 2 x y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x y'$ を $x^{3} y'$ で因数分解します。

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

ステップ 5.2.2

$x y'$ を $- 2 x y y'$ で因数分解します。

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

ステップ 5.2.3

$x y'$ を $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

ステップ 5.3

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ の各項を $x (x^{2} - 2 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ の各項を $x (x^{2} - 2 y)$ で割ります。

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$x^{2} - 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

$x$ を $- 5 x^{4} a$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.3.1

$x$ を $- 3 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.2

$- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x^{2} - 2 y)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.3.2

$(x^{2} - 2 y) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.5

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.5.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.5.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.3.6

$- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.3.3.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x^{2} - 2 y)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.1

$\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

ステップ 5.3.3.7.2

$(x^{2} - 2 y) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.9

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.9.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 5.3.3.9.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

微分積分 例

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