微分積分例

$- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

ステップ 1

$- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- \frac{1}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{15} x^{6}$ の微分係数は $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$- 6$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$\frac{- 6}{15}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.6

$- 6$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$3$ を $- 6 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{4}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 (4 x^{3})$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- \frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x^{5}}{5}$ の微分係数は $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$- 5$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.5

$- 5$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.6

$\frac{- 10}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7

$- 10$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.7.1

$5$ を $- 10 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.7.2.4

$- 2 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{3}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 2 x^{4} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{4} + 24 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.2.3.3

$3$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 72 x^{2}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ です。

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 2 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 2 u^{2} + 72 u = 0$

ステップ 2.2.2.3

$2 u$ を $- 2 u^{2} + 72 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$2 u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$2 u (- u) + 72 u = 0$

ステップ 2.2.2.3.2

$2 u$ を $72 u$ で因数分解します。

$2 u (- u) + 2 u (36) = 0$

ステップ 2.2.2.3.3

$2 u$ を $2 u (- u) + 2 u (36)$ で因数分解します。

$2 u (- u + 36) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 36 = 0$

ステップ 2.2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.2.5

$- x^{2} + 36$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$- x^{2} + 36$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 36 = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について $- x^{2} + 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

方程式の両辺から $36$ を引きます。

$- x^{2} = - 36$

ステップ 2.2.5.2.2

$- x^{2} = - 36$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.1

$- x^{2} = - 36$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 36}{- 1}$

ステップ 2.2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.3.1

$- 36$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 36$

ステップ 2.2.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{36}$

ステップ 2.2.5.2.4

$\pm \sqrt{36}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.4.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

ステップ 2.2.5.2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 6$

ステップ 2.2.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 6$

ステップ 2.2.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 6$

ステップ 2.2.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 6, - 6$

ステップ 2.2.6

最終解は $2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6, - 6$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 6)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 8$ で置換えます。

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{4} + 72 {(- 8)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 8$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(- 8)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $4096$ をかけます。

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 {(- 8)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 8$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

ステップ 5.2.1.4

$72$ に $64$ をかけます。

$f'' (- 8) = - 8192 + 4608$

ステップ 5.2.2

$- 8192$ と $4608$ をたし算します。

$f'' (- 8) = - 3584$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3584$ です。

$- 3584$

ステップ 5.3

$f'' (- 8)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 6)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 6)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 6, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{4} + 72 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $81$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 162 + 72 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = - 162 + 72 \cdot 9$

ステップ 6.2.1.4

$72$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 162 + 648$

ステップ 6.2.2

$- 162$ と $648$ をたし算します。

$f'' (- 3) = 486$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $486$ です。

$486$

ステップ 6.3

$f'' (- 3)$ が正なので、区間 $(- 6, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 6, 0)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(0, 6)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{4} + 72 {(3)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(3)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $81$ をかけます。

$f'' (3) = - 162 + 72 {(3)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = - 162 + 72 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.4

$72$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = - 162 + 648$

ステップ 7.2.2

$- 162$ と $648$ をたし算します。

$f'' (3) = 486$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $486$ です。

$486$

ステップ 7.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(0, 6)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 6)$ で上に凹します。

ステップ 8

区間 $(6, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$8$ を $4$ 乗します。

$f'' (8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $4096$ をかけます。

$f'' (8) = - 8192 + 72 {(8)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$8$ を $2$ 乗します。

$f'' (8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

ステップ 8.2.1.4

$72$ に $64$ をかけます。

$f'' (8) = - 8192 + 4608$

ステップ 8.2.2

$- 8192$ と $4608$ をたし算します。

$f'' (8) = - 3584$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 3584$ です。

$- 3584$

ステップ 8.3

$f'' (8)$ が負なので、区間 $(6, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 6)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 6, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 6)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(6, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例