微分積分例

$- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

ステップ 1

$- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- \frac{3}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{5} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$- 5$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.6

$\frac{- 15}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7

$- 15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.7.1

$5$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.2.7.2.4

$- 3 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{4}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 3 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} + 7 (4 x^{3})$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ に $7$ をかけます。

$f' (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- 3 x^{4} + 28 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{4}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$28$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x^{3}$ の微分係数は $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.2.3.3

$3$ に $28$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ です。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$- 12 x^{2}$ を $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 12 x^{2}$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$- 12 x^{2} x + 84 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2.2

$- 12 x^{2}$ を $84 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$- 12 x^{2}$ を $- 12 x^{2} (x) - 12 x^{2} (- 7)$ で因数分解します。

$- 12 x^{2} (x - 7) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 2.2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.2.5

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.2.6

最終解は $- 12 x^{2} (x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = - 12 {(- 2)}^{3} + 84 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 12 \cdot - 8 + 84 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 12$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 2) = 96 + 84 {(- 2)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = 96 + 84 \cdot 4$

ステップ 5.2.1.4

$84$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = 96 + 336$

ステップ 5.2.2

$96$ と $336$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 432$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $432$ です。

$432$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 7)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = - 12 {(4)}^{3} + 84 {(4)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = - 12 \cdot 64 + 84 {(4)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $64$ をかけます。

$f'' (4) = - 768 + 84 {(4)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = - 768 + 84 \cdot 16$

ステップ 6.2.1.4

$84$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = - 768 + 1344$

ステップ 6.2.2

$- 768$ と $1344$ をたし算します。

$f'' (4) = 576$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $576$ です。

$576$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(0, 7)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 7)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(7, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f'' (10) = - 12 {(10)}^{3} + 84 {(10)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$10$ を $3$ 乗します。

$f'' (10) = - 12 \cdot 1000 + 84 {(10)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $1000$ をかけます。

$f'' (10) = - 12000 + 84 {(10)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$10$ を $2$ 乗します。

$f'' (10) = - 12000 + 84 \cdot 100$

ステップ 7.2.1.4

$84$ に $100$ をかけます。

$f'' (10) = - 12000 + 8400$

ステップ 7.2.2

$- 12000$ と $8400$ をたし算します。

$f'' (10) = - 3600$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3600$ です。

$- 3600$

ステップ 7.3

$f'' (10)$ が負なので、区間 $(7, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(7, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 7)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(7, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例