微分積分例

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{4 π}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

ステップ 1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{4 π x}{3}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{4 π x}{3}$ で置き換えます。

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{4 π}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 π x}{3}$ の微分係数は $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$\frac{4 π}{3}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.3

$\frac{16 π}{3}$ と $\cos (\frac{4 π x}{3})$ をまとめます。

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

ステップ 1.3.4

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{16 π}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ の微分係数は $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ です。

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{4 π x}{3}$ とします。

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{4 π x}{3}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

ステップ 2.3

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{16 π}{3}$ と $\sin (\frac{4 π x}{3})$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

ステップ 2.3.2

$\frac{4 π}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 π x}{3}$ の微分係数は $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$\frac{4 π}{3}$ に $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.3.2

$16$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.5

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.7.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

ステップ 2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ の各項を $16 π$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ の各項を $16 π$ で割ります。

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

ステップ 5.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

ステップ 5.1.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

ステップ 5.1.2.2.2

$\cos (\frac{4 π x}{3})$ を $1$ で割ります。

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$0$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$16$ を $0$ で因数分解します。

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

ステップ 5.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.2.1

$16$ を $16 π$ で因数分解します。

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

ステップ 5.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

ステップ 5.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

ステップ 5.1.3.2

$0$ を $π$ で割ります。

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

ステップ 5.4

方程式の両辺に $\frac{3}{4 π}$ を掛けます。

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.1.1.2

$4 π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1.2.1

$4 π$ を $4 π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1.1

$π$ を $4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 5.5.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.5.2.1.2

$\frac{3}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.5.2.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3}{8}$

ステップ 5.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

方程式の両辺に $\frac{3}{4 π}$ を掛けます。

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1.1

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.1.1.2

$4 π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1.1.2.1

$4 π$ を $4 π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1

$\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.2.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 5.7.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.4.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.4.1.1

$π$ を $4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4.1.2

$π$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4.1.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4.1.4

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4.2

$\frac{3}{4}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1.4.3.1

$3$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.7.2.2.1.4.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{9}{8}$

ステップ 5.8

方程式 $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

ステップ 6

$x = \frac{3}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{3}{8}$ と $4$ をまとめます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

ステップ 7.1.2

$\frac{3 \cdot 4}{8}$ と $π$ をまとめます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

ステップ 7.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

ステップ 7.2.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{12 π}{8}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4$ を $12 π$ で因数分解します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

ステップ 7.2.2.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

ステップ 7.2.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

ステップ 7.2.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

ステップ 7.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

ステップ 7.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

ステップ 7.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

ステップ 7.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

ステップ 7.3.4

$64$ に $1$ をかけます。

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

ステップ 8

$x = \frac{3}{8}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3}{8}$ は極大値です

ステップ 9

$x = \frac{3}{8}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$4$ を $4 π$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

ステップ 9.2.1.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

ステップ 9.2.1.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

ステップ 9.2.1.4

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 9.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 9.2.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 9.2.3

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 9.2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

ステップ 9.2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = 4$

ステップ 9.2.6

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 10

$x = \frac{9}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\frac{9}{8}$ と $4$ をまとめます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

ステップ 11.1.2

$\frac{9 \cdot 4}{8}$ と $π$ をまとめます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

ステップ 11.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$9$ に $4$ をかけます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

ステップ 11.2.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{36 π}{8}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$4$ を $36 π$ で因数分解します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

ステップ 11.2.2.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

ステップ 11.2.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

ステップ 11.2.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

ステップ 11.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

ステップ 11.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

ステップ 11.3.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

ステップ 11.3.4

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

ステップ 11.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

ステップ 11.3.6

$- 1$ に $64$ をかけます。

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

ステップ 11.4

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

ステップ 11.5

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$ を掛けます。

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ステップ 11.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

ステップ 11.5.2

$\frac{64 π^{2}}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{64 π^{2}}{9}$

ステップ 12

$x = \frac{9}{8}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{9}{8}$ は極小値です

ステップ 13

$x = \frac{9}{8}$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $\frac{9}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$4$ を $4 π$ で因数分解します。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

ステップ 13.2.1.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

ステップ 13.2.1.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

ステップ 13.2.1.4

式を書き換えます。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

ステップ 13.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

ステップ 13.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

ステップ 13.2.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13.2.3

$π$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

ステップ 13.2.4

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

ステップ 13.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 13.2.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 13.2.7

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 13.2.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

ステップ 13.2.7.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

ステップ 13.2.8

最終的な答えは $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 14

$f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ の極値です。

$(\frac{3}{8}, 4)$ は極大値です

$(\frac{9}{8}, - 4)$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例