微分積分例

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$

ステップ 1

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} (x - 4) d x$

ステップ 4

$u = x - 4$ と $d v = \sqrt[3]{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(x - 4) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{3}{4}$ と $x^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

ステップ 5.2

$\frac{3}{4}$ と $x^{\frac{4}{3}}$ をまとめます。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} d x$

ステップ 6

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{4}$ を積分の外に移動させます。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ です。

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ を $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{3}{7}$ と $x^{\frac{7}{3}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

ステップ 8.2.2

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{7 \cdot 4} + C$

ステップ 8.2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

ステップ 8.2.4

$7$ に $4$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.5

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $28$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.2.6.1

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.6.2

$4$ に $7$ をかけます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{28} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.7

公分母の分子をまとめます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7 - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.8

$7$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{21 x^{\frac{7}{3}} - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.9

$21 x^{\frac{7}{3}}$ から $9 x^{\frac{7}{3}}$ を引きます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

ステップ 8.2.10

$4$ を $12 x^{\frac{7}{3}}$ で因数分解します。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{28} + C$

ステップ 8.2.11

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.11.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 (7)} + C$

ステップ 8.2.11.2

共通因数を約分します。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7} + C$

ステップ 8.2.11.3

式を書き換えます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

微分積分 例

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