微分積分例

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

ステップ 1

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} d x$

ステップ 4

$u = 2 x^{2} + 3$ とします。次に $d u = 4 x d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x^{2} + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x^{2} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $2 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$4 x + 0$

ステップ 4.1.4.2

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

ステップ 5.2

$4$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 7.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 7.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{4}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $2 x^{2} + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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