微分積分例

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

ステップ 1

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 9} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 3 \tan (t)$ とします。次に $d x = 3 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $3 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $3 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.2

$9$ を $9 \tan^{2} (t) + 9$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.2.1

$9$ を $9 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.2.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.2.3

$9$ を $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ で因数分解します。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.4

$9 \sec^{2} (t)$ を ${(3 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}} (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int {(3 \tan (t))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ を $3 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int {(3 (\tan (t)))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2.2

積の法則を $3 (\tan (t))$ に当てはめます。

$\int 3^{3} \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\int 27 \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2.4

$3$ に $27$ をかけます。

$\int 81 \tan^{3} (t) \sec (t) (3 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2.5

$3$ に $81$ をかけます。

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.2.6

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.6.1

$\sec^{2} (t)$ を移動させます。

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.6.2

$\sec^{2} (t)$ に $\sec (t)$ をかけます。

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ステップ 5.2.6.2.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

ステップ 5.2.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 243 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

ステップ 5.2.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 6

$243$ は $t$ に対して定数なので、 $243$ を積分の外に移動させます。

$243 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 7

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$243 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$243 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

ステップ 9

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 9.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

ステップ 10

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ を掛けます。

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1 u^{2}$ を $- u^{2}$ に書き換えます。

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 11.2

指数を足して $u^{2}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 11.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 12

単一積分を複数積分に分割します。

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 13

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

ステップ 14

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

ステップ 15

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

簡約します。

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ステップ 16.1.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

ステップ 16.1.2

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

ステップ 16.2

簡約します。

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u$ のすべての発生を $\sec (t)$ で置き換えます。

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

ステップ 17.2

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{x}{3})$ で置き換えます。

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{3}))) + C$

ステップ 18

項を並べ替えます。

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

ステップ 19

答えは関数 $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

微分積分 例

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