微分積分例

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

ステップ 1

総和を分割し、 $p$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

ステップ 2

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

ステップ 2.2

$9 \sum_{p = 1}^{8} p$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 2.2.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$8$ と $1$ をたし算します。

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

ステップ 2.2.3.2

$8$ に $9$ をかけます。

$- 9 (\frac{72}{2})$

ステップ 2.2.3.3

$72$ を $2$ で割ります。

$- 9 \cdot 36$

ステップ 2.2.3.4

$- 9$ に $36$ をかけます。

$- 324$

ステップ 2.3

$\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2.3.2

値を公式に代入します。

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$8$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$2$ を $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

ステップ 2.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

ステップ 2.3.3.2.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

ステップ 2.3.3.2.3

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

ステップ 2.3.3.2.4

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

ステップ 2.3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.3.3.1

$36$ に $17$ をかけます。

$\frac{612}{3}$

ステップ 2.3.3.3.2

$612$ を $3$ で割ります。

$204$

ステップ 2.4

合計した結果を足します。

$- 324 + 204$

ステップ 2.5

$- 324$ と $204$ をたし算します。

$- 120$

ステップ 3

$\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$p$ の各値の級数を展開します。

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9 + 1^{2}$

ステップ 3.2.2

$1$ を $2$ 乗します。

$- 9 + 1$

ステップ 3.2.3

$- 9$ と $1$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$- 120 + 8$

ステップ 5

$- 120$ と $8$ をたし算します。

$- 112$

微分積分 例

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