微分積分例

$- y^{2} + 5 = x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- y^{2} + 5) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- y^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 y y' + 0$

ステップ 2.3.2

$- 2 y y'$ と $0$ をたし算します。

$- 2 y y'$

ステップ 3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 2 y y' = 2 x$

ステップ 5

$- 2 y y' = 2 x$ の各項を $- 2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 y y' = 2 x$ の各項を $- 2 y$ で割ります。

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{- 2 y}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x)}{- 2 y}$

ステップ 5.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.2.1

$2$ を $- 2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (x)}{2 (- y)}$

ステップ 5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x}{2 (- y)}$

ステップ 5.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{x}{- y}$

ステップ 5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

微分積分 例

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