微分積分例

$x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$

ステップ 1

$x^{2} + x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 2

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ の中の $x^{2} + x$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - 4 y = 60$

ステップ 3

両辺に $\frac{1}{4}$ を加えて、 $- \frac{1}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - 4 y = 60 + \frac{1}{4}$

ステップ 4

$y^{2} - 4 y$ の平方完成。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 4.3.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 4.4.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 4.4.2.1.1.6.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 4.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 4.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y - 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(y - 2)}^{2} - 4$

ステップ 5

${(y - 2)}^{2} - 4$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ の中の $y^{2} - 4 y$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 60 + \frac{1}{4}$

ステップ 6

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + 4$

ステップ 7

$60 + \frac{1}{4} + 4$ を簡約します。

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ステップ 7.1

公分母を求めます。

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ステップ 7.1.1

$60$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + 4$

ステップ 7.1.2

$\frac{60}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

ステップ 7.1.3

$\frac{60}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

ステップ 7.1.4

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1}$

ステップ 7.1.5

$\frac{4}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.1.6

$\frac{4}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.3

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$60$ に $4$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.3.2

$4$ に $4$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 16}{4}$

ステップ 7.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.4.1

$240$ と $1$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{241 + 16}{4}$

ステップ 7.4.2

$241$ と $16$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{257}{4}$

ステップ 8

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 9

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{\sqrt{257}}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 2$

ステップ 10

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- \frac{1}{2}, 2)$

ステップ 11

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- \frac{1}{2}, 2)$

半径： $\frac{\sqrt{257}}{2}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例