微分積分例

$\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

ステップ 1

$\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{10} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{5}{10}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5

$5$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$5$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{2} - (4 x^{3})$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{4}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.3

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.2.5.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

ステップ 2.2.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 x^{3} - 12 x^{2}$ です。

$2 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$2 x^{2}$ を $2 x^{3} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$2 x^{2}$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$2 x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6) = 0$

ステップ 3.2.3

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} (- 6)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (x - 6) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 3.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.6

最終解は $2 x^{2} (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{10}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$6$ を $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$6$ を $5$ 乗します。

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f (6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot 7776 - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$2$ を $7776$ で因数分解します。

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 3888 - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{1}{5}$ と $3888$ をまとめます。

$f (6) = \frac{3888}{5} - {(6)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.4

$6$ を $4$ 乗します。

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1 \cdot 1296$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 1$ に $1296$ をかけます。

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296$

ステップ 4.3.2.2

$- 1296$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (6) = \frac{3888}{5} - 1296 \cdot \frac{5}{5}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1296$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5}$

ステップ 4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (6) = \frac{3888 - 1296 \cdot 5}{5}$

ステップ 4.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.5.1

$- 1296$ に $5$ をかけます。

$f (6) = \frac{3888 - 6480}{5}$

ステップ 4.3.2.5.2

$3888$ から $6480$ を引きます。

$f (6) = \frac{- 2592}{5}$

ステップ 4.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (6) = - \frac{2592}{5}$

ステップ 4.3.2.7

最終的な答えは $- \frac{2592}{5}$ です。

$- \frac{2592}{5}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - x^{4}$ で代入して $6$ 求めた点は、 $(6, - \frac{2592}{5})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(6, - \frac{2592}{5})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (6, - \frac{2592}{5})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 2 {(- 0.1)}^{3} - 12 {(- 0.1)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 2 \cdot - 0.001 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $- 0.001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 {(- 0.1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 12 \cdot 0.01$

ステップ 6.2.1.4

$- 12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.002 - 0.12$

ステップ 6.2.2

$- 0.002$ から $0.12$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = - 0.122$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.122$ です。

$- 0.122$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 0.122$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$f'' (3) = 54 - 12 {(3)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f'' (3) = 54 - 12 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.4

$- 12$ に $9$ をかけます。

$f'' (3) = 54 - 108$

ステップ 7.2.2

$54$ から $108$ を引きます。

$f'' (3) = - 54$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 54$ です。

$- 54$

ステップ 7.3

$3$ で二次導関数は $- 54$ です。これは負の値なので、 $(0, 6)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 6)$ で減少

ステップ 8

区間 $(6, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $6.1$ で置換えます。

$f'' (6.1) = 2 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$6.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (6.1) = 2 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$2$ に $226.981$ をかけます。

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 {(6.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (6.1) = 453.962 - 12 \cdot 37.21$

ステップ 8.2.1.4

$- 12$ に $37.21$ をかけます。

$f'' (6.1) = 453.962 - 446.52$

ステップ 8.2.2

$453.962$ から $446.52$ を引きます。

$f'' (6.1) = 7.442$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $7.442$ です。

$7.442$

ステップ 8.3

$6.1$ で二次導関数は $7.442$ です。これは正の値なので、 $(6, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(6, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(6, - \frac{2592}{5})$ です。

$(6, - \frac{2592}{5})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例