微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.2

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{6}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{6}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{3}{1}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 1.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{3} - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.5.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $\frac{3}{2}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

ステップ 2.1.3.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 2.1.3.4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{\frac{3}{2}} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

ステップ 2.1.3.4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{\frac{3}{2}} - \sqrt{1}}$

ステップ 2.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

ステップ 2.1.3.5.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 2.1.3.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{3} - \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.4.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.5

総和則では、 $x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.6.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.6.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.6.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.6.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

ステップ 2.3.7

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 2.3.7.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

ステップ 2.3.7.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

ステップ 2.3.7.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

ステップ 2.3.7.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

ステップ 2.3.7.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

ステップ 2.3.7.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

ステップ 2.3.7.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

ステップ 2.3.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

ステップ 2.3.7.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 2.3.7.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.3.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$3 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.2

$3 x^{2}$ と $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.4

$\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.5

$\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} \cdot 2 \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} \cdot 2 \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.5

$3 \cdot 2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.6

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.8

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.9

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.10

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3.11

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

ステップ 3.12

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

ステップ 3.13

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

ステップ 3.14

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

ステップ 3.15

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

ステップ 3.16

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

ステップ 3.17

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

ステップ 3.18

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

ステップ 3.19

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

ステップ 4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

ステップ 4.3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

ステップ 4.4

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

ステップ 4.5

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

ステップ 4.6

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

ステップ 5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.3

$\sqrt{1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$(3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.4

$3$ に $2$ をかけます。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.6

$\sqrt{1}$ を $1$ 乗します。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 ({\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.7

$\sqrt{1}$ を $1$ 乗します。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 ({\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}) - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{2} - 1}$

ステップ 5.11

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1}$

ステップ 5.11.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \cdot 1 - 1}$

ステップ 5.11.3

$3$ に $1$ をかけます。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 - 1}$

ステップ 5.11.4

$3$ から $1$ を引きます。

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

ステップ 5.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(6 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

ステップ 5.12.2

$6$ に $1$ をかけます。

$(6 \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

ステップ 5.12.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$(6 \cdot 1 - 1) \frac{1}{2}$

ステップ 5.12.4

$6$ に $1$ をかけます。

$(6 - 1) \frac{1}{2}$

ステップ 5.13

$6$ から $1$ を引きます。

$5 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.14

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{5}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5}{2}$

10進法形式：

$2.5$

微分積分 例

微分積分例