微分積分例

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{5}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.6.2

$1$ から $5$ を引きます。

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.8

$\frac{1}{5}$ と $x^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.9

$2$ と $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ の微分係数は $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ です。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ を ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{4}{5} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.2.1

$\frac{4}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

ステップ 2.2.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

ステップ 2.3

$n = - \frac{4}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

ステップ 2.7.2

$- 4$ から $5$ を引きます。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{9}{5}}$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

ステップ 2.10

$\frac{2}{5}$ に $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ をかけます。

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

ステップ 2.11

掛け算します。

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ステップ 2.11.1

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

ステップ 2.11.2

$5$ に $5$ をかけます。

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

ステップ 2.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{9}{5}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

微分積分 例

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