微分積分例

$y = \frac{3}{x}$ at $(3, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- x^{- 2})$

ステップ 1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{- 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1.6

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$- \frac{3}{{(3)}^{2}}$

ステップ 1.7

$3$ と ${(3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{2}}$

ステップ 1.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.2.1

$3$ を ${(3)}^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.7.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.7.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{1}{3}$ と与えられた点 $(3, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y - 1 = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.5.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))$

ステップ 2.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - 1 = - \frac{x}{3} - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - \frac{x}{3} + 1$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - \frac{x}{3} + 1 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{x}{3} + 2$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{1}{3} x) + 2$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{3} x + 2$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例