微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

ステップ 5

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 2}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

ステップ 6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

ステップ 6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

ステップ 6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

ステップ 6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 8.1.2

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ に $1$ をかけます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 8.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

ステップ 8.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

ステップ 8.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ と $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

ステップ 10.2

代入し簡約します。

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ステップ 10.2.1

$e$ および $1$ で $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ の値を求めます。

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

ステップ 10.2.2

簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$\ln (1)$ を $1$ で割ります。

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

ステップ 10.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

ステップ 10.2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

ステップ 10.2.2.4

$- (- \ln (1) - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

ステップ 10.2.2.5

$- (- \ln (1) - 1)$ と $\frac{e}{e}$ をまとめます。

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

ステップ 10.2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

ステップ 10.2.2.7

$- e^{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

ステップ 10.2.2.8

$- e^{- 1}$ と $\frac{e}{e}$ をまとめます。

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

ステップ 10.2.2.9

公分母の分子をまとめます。

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 10.2.2.10

$e$ を $1$ 乗します。

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 10.2.2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 10.2.2.12

$1$ から $1$ を引きます。

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 10.2.2.13

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 10.2.2.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

ステップ 10.2.2.15

$- 2$ と $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

ステップ 10.2.2.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

ステップ 11

分子を簡約します。

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ステップ 11.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

ステップ 11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

ステップ 11.3

各項を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

ステップ 11.3.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

ステップ 11.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

ステップ 11.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

ステップ 11.6

$e$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

ステップ 11.7

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

10進法形式：

$- 0.52848223 \dots$

微分積分 例

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