微分積分例

$y = \ln (| \sin (x) |)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = | \sin (x) |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $| \sin (x) |$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $| \sin (x) |$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

ステップ 3.2

$f (x) = | x |$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $| u_{2} |$ の微分係数は $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ です。

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ に $\frac{1}{| \sin (x) |}$ をかけます。

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.9

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

ステップ 3.10

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

ステップ 3.11.2

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.11.3

$\sin (x)$ と $\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.3.1

$\sin (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3.11.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.3.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 3.11.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 3.11.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.11.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cot (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \cot (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$

微分積分 例

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