微分積分例

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2^{4 x}}$ を ${(2^{4 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2

${(2^{4 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

ステップ 3.3.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

ステップ 3.3.3.2

$- 4$ を $2^{- 4 x} \ln (2)$ の左に移動させます。

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

ステップ 3.3.3.3

負をくくり出します。

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

ステップ 3.3.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

微分積分 例

微分積分例