微分積分例

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

ステップ 1

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}} d x$

ステップ 4

$u = \ln (x) + 1$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \ln (x) + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\ln (x) + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $\ln (x) + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 5.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $\ln (x) + 1$ で置き換えます。

$2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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