微分積分例

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 9

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

ステップ 10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 11

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 11.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 11.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 11.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

ステップ 13.2

式を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

ステップ 13.2.2

項を並べ替えます。

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

微分積分 例

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