微分積分例

$f (x) = 6 x - x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $6 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 - (2 x)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 - 2 x$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 2 x + 6$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x + 6 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $6 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 - (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 - 2 x$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x + 6$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + 6$ です。

$- 2 x + 6$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + 6 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- 2 x = - 6$

ステップ 5.3

$- 2 x = - 6$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 2 x = - 6$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{- 2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 6$ を $- 2$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2$

ステップ 9

$x = 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極大値です

ステップ 10

$x = 3$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 6 (3) - {(3)}^{2}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$6$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 18 - {(3)}^{2}$

ステップ 10.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 18 - 1 \cdot 9$

ステップ 10.2.1.3

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 18 - 9$

ステップ 10.2.2

$18$ から $9$ を引きます。

$f (3) = 9$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$y = 9$

ステップ 11

$f (x) = 6 x - x^{2}$ の極値です。

$(3, 9)$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例