微分積分例

$F (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 12 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12 y$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

ステップ 1.4.2

$3 x^{2} + 6 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 6 x - 9$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 6 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$F'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$F'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$F'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$F'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$F'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$F'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 9)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$F'' (x) = 6 x + 6 + 0$

ステップ 2.4.2

$6 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$F'' (x) = 6 x + 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.3.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 12 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12 y$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$3 x^{2} + 6 x - 9$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9$

ステップ 4.2

$x$ に関する $F (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 6 x - 9$ です。

$3 x^{2} + 6 x - 9$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 6 x - 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 6 x - 9 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 9 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (2 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

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ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $2$ です。

$- 1, 3$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.6

最終解は $3 (x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 3$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (1) + 6$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + 6$

ステップ 9.2

$6$ と $6$ をたし算します。

$12$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$F (1) = {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 - 12 y$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$F (1) = 1 + 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 - 12 y$

ステップ 11.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$F (1) = 1 + 3 \cdot 1 - 9 \cdot 1 - 12 y$

ステップ 11.2.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$F (1) = 1 + 3 - 9 \cdot 1 - 12 y$

ステップ 11.2.1.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$F (1) = 1 + 3 - 9 - 12 y$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$1$ と $3$ をたし算します。

$F (1) = 4 - 9 - 12 y$

ステップ 11.2.2.2

$4$ から $9$ を引きます。

$F (1) = - 5 - 12 y$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 5 - 12 y$ です。

$y = - 5 - 12 y$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- 3) + 6$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$6$ に $- 3$ をかけます。

$- 18 + 6$

ステップ 13.2

$- 18$ と $6$ をたし算します。

$- 12$

ステップ 14

$x = - 3$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$F (- 3) = {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 12 y$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$F (- 3) = - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 12 y$

ステップ 15.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$F (- 3) = - 27 + 3 \cdot 9 - 9 \cdot - 3 - 12 y$

ステップ 15.2.1.3

$3$ に $9$ をかけます。

$F (- 3) = - 27 + 27 - 9 \cdot - 3 - 12 y$

ステップ 15.2.1.4

$- 9$ に $- 3$ をかけます。

$F (- 3) = - 27 + 27 + 27 - 12 y$

ステップ 15.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 15.2.2.1

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$F (- 3) = 0 + 27 - 12 y$

ステップ 15.2.2.2

$0$ と $27$ をたし算します。

$F (- 3) = 27 - 12 y$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $27 - 12 y$ です。

$y = 27 - 12 y$

ステップ 16

$F (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$ の極値です。

$(1, - 5 - 12 y)$ は極小値です

$(- 3, 27 - 12 y)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例