微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

ステップ 1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

ステップ 2

$u = \csc (x)$ とします。次に $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ すると、 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \csc (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\csc (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- \csc (x) \cot (x)$

ステップ 2.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ の因数を並べ替えます。

$- \cot (x) \csc (x)$

ステップ 2.2

$u = \csc (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

ステップ 2.3

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$u_{lower} = \sqrt{2}$

ステップ 2.4

$u = \csc (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 2.5

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

ステップ 3

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ および $\sqrt{2}$ で $\frac{u^{2}}{2}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 8.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

ステップ 8.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

ステップ 8.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 8.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

ステップ 8.2.2.4.2

式を書き換えます。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

ステップ 8.2.2.5

指数を求めます。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

ステップ 8.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

共通因数を約分します。

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

ステップ 8.2.3.2

式を書き換えます。

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

ステップ 8.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

ステップ 8.2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 8.2.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

ステップ 8.2.7

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 8.2.8

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 \frac{1 - 2}{2}$

ステップ 8.2.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 8.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{1}{2})$

ステップ 8.2.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{2})$

ステップ 8.2.11

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2}$

ステップ 8.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3}{2}$

10進法形式：

$- 1.5$

帯分数形：

$- 1 \frac{1}{2}$

微分積分 例

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