微分積分例

$x \cdot \sin (2 x)$

ステップ 1

$x \cdot \sin (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x \cdot \sin (2 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \cdot \sin (2 x) d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 5.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 6

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7

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ステップ 7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

ステップ 8

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 9

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

ステップ 12

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

ステップ 13

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ステップ 13.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ を $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 13.2.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 15

$\frac{\cos (2 x) x}{2}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = x \cdot \sin (2 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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