微分積分例

$e^{x} \cdot e^{x + 1}$

ステップ 1

$e^{x} \cdot e^{x + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} \cdot e^{x + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{x} \cdot e^{x + 1} d x$

ステップ 4

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x + 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x + x + 1} d x$

ステップ 4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{2 x + 1} d x$

ステップ 5

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = e^{x} \cdot e^{x + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C$

微分積分 例

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