微分積分例

$- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

ステップ 1

$- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $- \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} - (2 x)$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} - 2 x$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 x - 2$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 2 x - 2$ です。

$- 2 x - 2$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x - 2 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 2 x = 2$

ステップ 2.2.3

$- 2 x = 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 2 x = 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 2.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

ステップ 2.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{- 2}$

ステップ 2.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$2$ を $- 2$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - 2 \cdot - 4 - 2$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = 8 - 2$

ステップ 5.2.2

$8$ から $2$ を引きます。

$f'' (- 4) = 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 - 2$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 2$

ステップ 6.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = - 2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例