微分積分例

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

ステップ 2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (2 + x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ の極限は $0$ です。

$0$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

ステップ 7

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\infty$

ステップ 8

左側極限と右側極限が等しくないので、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例