微分積分例

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ と $6 - 2 x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

ステップ 3.1.2.2

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

ステップ 3.1.2.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

ステップ 3.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

ステップ 3.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.3.2.2

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.3.2.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- x^{2})$ で因数分解します。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.3.2.4

共通因数を約分します。

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.2.3.2.5

式を書き換えます。

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ です。

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

ステップ 3.3.2

$2$ に $5$ をかけます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$2$ を $3 - x^{2}$ の左に移動させます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

総和則では、 $3 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.7

掛け算します。

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ステップ 3.5.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.7.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

$x$ を移動させます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.8

$\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ と $10$ をまとめます。

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

ステップ 3.9

$10$ を $2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

積の法則を $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.2

積の法則を $2 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.5

分配則を当てはめます。

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6

項をまとめます。

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ステップ 3.10.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.2

$6$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.7

$- 2$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.8

$2$ に $10$ をかけます。

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.9

$- 20 x^{3}$ と $20 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.10

$60 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.11

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.12

${(x^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.10.6.12.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.12.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.13

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ に $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ をかけます。

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.14

$16$ に $60$ をかけます。

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.15

指数を足して $x$ に $x^{8}$ を掛けます。

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ステップ 3.10.6.15.1

$x^{8}$ を移動させます。

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.15.2

$x^{8}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.10.6.15.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.15.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.15.3

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.10.6.16

指数を足して ${(3 - x^{2})}^{2}$ に ${(3 - x^{2})}^{4}$ を掛けます。

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ステップ 3.10.6.16.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

ステップ 3.10.6.16.2

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

ステップ 3.10.7

項を並べ替えます。

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

微分積分 例

微分積分例