微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.8

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.9

$\frac{3}{2}$ と ${(x - 2)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

ステップ 1.3.2

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.2.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 2.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

ステップ 2.3.6.2

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

ステップ 2.4.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 3 x - 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.8

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{3}{2}$ と ${(x - 2)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ です。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.1.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 5.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 5.3.2

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.3.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$3 (2) - 6$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$3$ に $2$ をかけます。

$6 - 6$

ステップ 9.2

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ の区間 $(- \infty, 2)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

ステップ 10.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (0) = \frac{12}{2}$

ステップ 10.2.2.2.2

$12$ を $2$ で割ります。

$f' (0) = 6$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

ステップ 10.3.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = \frac{12}{2}$

ステップ 10.3.2.2.2

$12$ を $2$ で割ります。

$f' (4) = 6$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 10.4

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.5

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例