微分積分例

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

ステップ 1

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ を $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ に書き換えます。

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

ステップ 4.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

ステップ 4.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

ステップ 4.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

ステップ 4.3.1.3

$- \cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.3.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

ステップ 4.3.1.3.4

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

ステップ 4.3.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 4.3.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.2

$- \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4.3.3

$- \cos (x) \sin (x)$ から $\cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

ステップ 4.4

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 4.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

ステップ 8

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 8.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C - 2 \int - u d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x + C - 2 (- \int u d u)$

ステップ 10

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$x + C + 2 \int u d u$

ステップ 11

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

ステップ 12.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.2.1

共通因数を約分します。

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

ステップ 12.2.2.2

式を書き換えます。

$x + 1 u^{2} + C$

ステップ 12.2.3

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$x + u^{2} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$x + \cos^{2} (x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$

微分積分 例

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