微分積分例

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

ステップ 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.9

$2$ と $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

簡約します。

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ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.10.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

ステップ 4.1.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

ステップ 4.1.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

ステップ 4.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ です。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 5.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.1.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{1^{2}}$

ステップ 9.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{1}$

ステップ 9.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \ln ({(0)}^{2} + 1)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \ln (0 + 1)$

ステップ 11.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = \ln (1)$

ステップ 11.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例