微分積分例

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{1 + x^{4}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.2

$1 + x^{4}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 + x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 \frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ をたし算します。

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 3.7

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 4.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 5

$x^{4}$ から $4 x^{4}$ を引きます。

$2 \frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 6

$2$ と $\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (1 - 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 7.2.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 6 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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