微分積分例

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

ステップ 1

$u_{1} = \ln (y)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ すると、 $y d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = \ln (y)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (y)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

ステップ 1.1.2

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$\frac{1}{y}$

ステップ 1.2

$u_{1} = \ln (y)$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 1.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = \ln (y)$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (e)$

ステップ 1.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

ステップ 2

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 2.1.3

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u_{2} = 1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u_{2} = 1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

ステップ 4

$2$ および $1$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 5

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

ステップ 6.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{2}{1})$

ステップ 6.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (2)$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2)$

10進法形式：

$0.69314718 \dots$

微分積分 例

微分積分例