微分積分例

$y = (4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 4 x^{3} + 8$ および $g (x) = 2 x^{7} - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(4 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 3] + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $2 x^{7} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(4 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{7}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$(4 x^{3} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.3

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(4 x^{3} + 8) (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.4

$7$ に $2$ をかけます。

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + 0) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$14 x^{6}$ と $0$ をたし算します。

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6}) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.6.2

$14$ を $4 x^{3} + 8$ の左に移動させます。

$14 \cdot (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $4 x^{3} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.2.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.2.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.2.10

$3$ に $4$ をかけます。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.2.11

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + 0)$

ステップ 3.2.12

式を簡約します。

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ステップ 3.2.12.1

$12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2})$

ステップ 3.2.12.2

$12$ を $2 x^{7} - 3$ の左に移動させます。

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + 12 \cdot (2 x^{7} - 3) x^{2}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$(14 (4 x^{3}) + 14 \cdot 8) x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + (12 (2 x^{7}) + 12 \cdot - 3) x^{2}$

ステップ 3.3.4

分配則を当てはめます。

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5

項をまとめます。

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ステップ 3.3.5.1

$4$ に $14$ をかけます。

$56 x^{3} x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

$x^{6}$ を移動させます。

$56 (x^{6} x^{3}) + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$56 x^{6 + 3} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.2.3

$6$ と $3$ をたし算します。

$56 x^{9} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.3

$14$ に $8$ をかけます。

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.4

$2$ に $12$ をかけます。

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{7} x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.5

指数を足して $x^{7}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.5.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 (x^{2} x^{7}) + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{2 + 7} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.5.3

$2$ と $7$ をたし算します。

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

ステップ 3.3.5.6

$12$ に $- 3$ をかけます。

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} - 36 x^{2}$

ステップ 3.3.5.7

$56 x^{9}$ と $24 x^{9}$ をたし算します。

$80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

微分積分 例

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