微分積分例

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{2 x + 1}} d x$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x + 1}} d x$

ステップ 2

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

ステップ 3.2

$2$ を $\sqrt[3]{u}$ の左に移動させます。

$4 \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.1.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.1.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

ステップ 5.2.2

$u^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2.3

${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

ステップ 5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ です。

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ を $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.3

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 7.2.3.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 u^{\frac{2}{3}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$3 {(2 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

微分積分 例

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