微分積分例

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = x - 6$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

ステップ 2

$(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 2.4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 2.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 2.7

$2$ に $6$ をかけます。

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 2.8

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

ステップ 2.9

$12 u^{2}$ と $u^{2}$ をたし算します。

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

ステップ 4

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

ステップ 6

$13$ は $u$ に対して定数なので、 $13$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 8.2.3

$13$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x - 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例