微分積分例

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ を $- 7 x + 5 x^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

ステップ 3.1.2

$x$ を $5 x^{5}$ で因数分解します。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

ステップ 3.1.3

$x$ を $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ で因数分解します。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 5

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $- 9$ を積分の外に移動させます。

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 6

$u = - 9 x$ とします。次に $d u = - 9 d x$ すると、 $- \frac{1}{9} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = - 9 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 9 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

ステップ 6.1.2

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 9

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{9}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 11.2

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 11.2.2

式を書き換えます。

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 11.3

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

ステップ 13

$- 7$ と $5 x^{4}$ を並べ替えます。

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

ステップ 14

$5 x^{4} - 7$ を $x$ で割ります。

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ステップ 14.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

ステップ 14.2

被除数 $5 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

ステップ 14.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

ステップ 14.4

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{4} + 0$ の符号をすべて変更します。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

ステップ 14.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

ステップ 14.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

ステップ 14.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

ステップ 15

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

ステップ 16

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

ステップ 17

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

ステップ 18

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

ステップ 19

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

ステップ 20

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 21

$7$ に $- 1$ をかけます。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 22

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 23

簡約します。

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

ステップ 24

$u$ のすべての発生を $- 9 x$ で置き換えます。

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

ステップ 25

項を並べ替えます。

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

ステップ 26

答えは関数 $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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