微分積分例

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

ステップ 1

$x = - 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.2

$- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 1.2.1.1.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

ステップ 1.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 1.2.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$y = 1 - 5 + 2$

ステップ 1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$1$ から $5$ を引きます。

$y = - 4 + 2$

ステップ 1.2.2.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$y = - 2$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = - 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

ステップ 2.4.2

$- 3 x^{2} - 10 x$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{2} - 10 x$

ステップ 2.5

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

ステップ 2.6.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 - 10 \cdot - 1$

ステップ 2.6.1.3

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 + 10$

ステップ 2.6.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$7$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $7$ と与えられた点 $(- 1, - 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$7 \cdot (x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.4

$7$ に $1$ をかけます。

$y + 2 = 7 x + 7$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = 7 x + 7 - 2$

ステップ 3.3.2.2

$7$ から $2$ を引きます。

$y = 7 x + 5$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例