微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{- 1} + 3^{- 1}}{h}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.1.1

負の指数を分数に変換します。

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ステップ 1.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + 3^{- 1}}{h}$

ステップ 1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + \frac{1}{3}}{h}$

ステップ 1.1.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{- 3 + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{h}$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

ステップ 1.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(- 3 + h) \cdot 3$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$\frac{1}{- 3 + h}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

ステップ 1.1.2.3.3

$(- 3 + h) \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{3 (- 3 + h)} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

ステップ 1.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

ステップ 1.1.2.5

$3$ から $3$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

ステップ 1.1.2.6

$0$ と $h$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

ステップ 1.2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 1.2.2

$\frac{h}{3 (- 3 + h)}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

ステップ 1.2.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 (- 3 + h)}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{3}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{- 3 + h}$

ステップ 1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

ステップ 1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

ステップ 1.6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + 0}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 + 0}$

ステップ 3.1.2

$- 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

ステップ 3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

ステップ 3.3

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{9}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{9}$

10進法形式：

$- 0.\overline{1}$

微分積分 例

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