微分積分例

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$t$ を $t - t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

ステップ 1.1.3

$t$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

ステップ 1.1.4

$t$ を $t \cdot 1 + t (- t)$ で因数分解します。

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

ステップ 1.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

ステップ 2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

ステップ 3

$u = 1 - t$ とします。次に $d u = - d t$ すると、 $- d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 1 - t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

$- 1$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 4

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 6

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$- 4 \ln (| u |) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $1 - t$ で置き換えます。

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$