微分積分例

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 1

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

ステップ 5

$u_{2} = \sec (3 x)$ とします。次に $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = \sec (3 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\sec (3 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

ステップ 5.1.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.3

微分します。

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ステップ 5.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

ステップ 5.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.1.3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

ステップ 5.1.3.3.2

$3$ を $\sec (3 x) \tan (3 x)$ の左に移動させます。

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ を $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

ステップ 7.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

ステップ 7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

微分積分 例

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