微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (x) - \ln (4)}{x - 4}$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x - 4}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 2.1.3.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{4}$ で割ります。

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{4}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{4}$ に $\frac{4}{x}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.7

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.7.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.10

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 2.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 2.3.12

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

ステップ 2.3.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 2.5

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 3.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 4} x}$

ステップ 4

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

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