微分積分例

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

ステップ 1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{8}{x^{2} - 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2}$

ステップ 1.2

$- \frac{x}{x - 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ を掛けます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x^{2} - 4) (x - 2)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{8}{x^{2} - 4}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{x - 2}$ に $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 1.3.3

$(x^{2} - 4) (x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.2

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{8 lim_{x \to 2^{+}} x - 2 - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.8

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.9

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.9.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.9.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.9.3

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 (2 - 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{8 \cdot 0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.1.3

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.1.4.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.1.5

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.1.6

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.2.10.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2 \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

ステップ 2.1.3.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

ステップ 2.1.3.6

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

ステップ 2.1.3.7

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

ステップ 2.1.3.7.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

ステップ 2.1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

ステップ 2.1.3.8.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

ステップ 2.1.3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 2.1.3.8.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

ステップ 2.1.3.8.4

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.8.5

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.8.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [8 (x - 2)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 (x - 2)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x - 2]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.3.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.3.6

$8$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x (x^{2} - 4)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.3

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.7

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.8

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.9

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.12

$x^{2} - 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.4.13

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2}) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.5.2.3

$8$ と $4$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

ステップ 2.3.6

$f (x) = x - 2$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 2.3.7

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 2.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 2.3.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 2.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 2.3.11

$2$ を $x - 2$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 2.3.12

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

ステップ 2.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

ステップ 2.3.14

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

ステップ 2.3.15

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

ステップ 2.3.16

$x^{2} - 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.17.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.17.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.3.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

ステップ 2.3.17.3.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} - 3 x^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.1.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 3 \cdot 2^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 3 \cdot 4 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.2.3.2

$- 12$ と $12$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

ステップ 3.1.3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

ステップ 3.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

ステップ 3.1.3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

ステップ 3.1.3.5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.1.3.6

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.1.3.6.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.7.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.1.3.7.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.1.3.7.1.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.1.3.7.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

ステップ 3.1.3.7.2

$12$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 3.1.3.7.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $- 3 x^{2} + 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.4

$12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $12$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.5

$- 6 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

ステップ 3.3.6

総和則では、 $3 x^{2} - 4 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.7

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.7.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.8

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.8.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 3.3.9

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + 0}$

ステップ 3.3.10

$6 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4}$

ステップ 3.4

$- 6$ と $6 x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{6 x - 4}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) - 4}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

ステップ 3.4.2.3

$2$ を $2 (3 x) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

ステップ 3.4.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

ステップ 3.4.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x}{3 x - 2}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 3 lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{3 x - 2}$

ステップ 4.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - 2}$

ステップ 4.3

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

ステップ 4.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

ステップ 4.5

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 5

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 3 \frac{2}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 3 \frac{2}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ と $3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 1$ を $3 \cdot 2$ で因数分解します。

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

ステップ 6.1.2

$- 1$ を $- 1 \cdot 2$ で因数分解します。

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)}$

ステップ 6.1.3

$- 1$ を $- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)$ で因数分解します。

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2 + 2)}$

ステップ 6.1.4

$- (- 3 \cdot 2 + 2)$ を $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ に書き換えます。

$- 3 \frac{2}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

ステップ 6.1.5

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

ステップ 6.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1

$2$ を $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ で因数分解します。

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

ステップ 6.1.6.2

共通因数を約分します。

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

ステップ 6.1.6.3

式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{- 1 (- 3 + 1)}$

ステップ 6.2

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- 3 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 3 + 1)}$

ステップ 6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- 3 (- \frac{1}{- 3 + 1})$

ステップ 6.3

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$- 3 (- \frac{1}{- 2})$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- 3 (- - \frac{1}{2})$

ステップ 6.5

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (1 (\frac{1}{2}))$

ステップ 6.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.6

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{2}$

ステップ 6.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2}$

微分積分 例

微分積分例