微分積分例

$\sin (x) \cdot e^{x}$

ステップ 1

$\sin (x) \cdot e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

ステップ 4

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

ステップ 5

$e^{x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

ステップ 6

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 8

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 8.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ に $1$ をかけます。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

ステップ 9

$\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ を解くと、 $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

ステップ 10

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ を $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

微分積分 例