微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${\sin (x)}^{\tan (x)}$ を $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

ステップ 1.2

$\tan (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ を展開します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

ステップ 2

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

ステップ 3

$\tan (x) \ln (\sin (x))$ を $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ に書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

ステップ 4.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (\sin (x))$ は境界がなく減少します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 4.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

ステップ 4.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

ステップ 4.1.3.1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

ステップ 4.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

ステップ 4.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

ステップ 4.3.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

ステップ 4.3.6

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

ステップ 4.3.7

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

ステップ 4.3.8

簡約します。

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ステップ 4.3.8.1

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

ステップ 4.3.8.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

ステップ 4.3.9

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.10

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.11

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.12

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.15

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.16

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.17

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.19

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20

簡約します。

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ステップ 4.3.20.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.20.1.1

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20.1.2

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20.1.3

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20.1.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.3.20.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 4.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\sin^{2} (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.6

$\sin^{2} (x)$ と $\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

$\sin (x)$ を $\cos (x) \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1

$1$ を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

ステップ 4.6.2.2

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

ステップ 4.6.2.3

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

ステップ 4.6.2.4

$\cos (x) \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

ステップ 5.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

ステップ 5.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

ステップ 5.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

ステップ 6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

ステップ 6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

ステップ 7.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

ステップ 7.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- 1 \cdot 0}$

ステップ 7.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0}$

ステップ 8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

微分積分 例

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